<< 4.2 Формула Серсика | Оглавление | 4.4 Центральные области галактик >>


4.3 Другие законы

$\bullet$ Формула Рейнольдса-Хаббла и ее модификации

Формулу Рейнольдса-Хаббла (2) можно записать в следующем виде:

\begin{displaymath} I(r)=\frac{4I(r_0)}{(1+r/r_0)^2}, \end{displaymath} (31)

где $r_0$ -- характерный масштаб, а $I(r_0)$ -- поверхностная яркость на расстоянии $r_0$ от ядра. Полная светимость круглой галактики в пределах расстояния $r$ от ядра, следовательно, равна
\begin{displaymath} L(\leq r)=8 \pi I(r_0) r_0^2 \int_{0}^{\alpha}\frac{x{\rm d}... ...r_0^2 \left[{\rm ln}(1+\alpha)-\frac{\alpha}{1+\alpha}\right], \end{displaymath} (32)

где $\alpha=r/r_0$. Как видно из (32), при $r\rightarrow\infty$ значение $L(\leq r)$ стремится к бесконечности.

Эта же проблема (бесконечная полная светимость) остается и у модифицированного закона Хаббла (Рейнольдса-Хаббла):

\begin{displaymath} I(r)=\frac{I_0}{1+(r/r_0)^2}, \end{displaymath} (33)

для которого
\begin{displaymath} L(\leq r)=\pi r_0^2\,{\rm ln}[1+(r/r_0)^2]. \end{displaymath} (34)

Формула (33) примечательна тем, что пространственное распределение плотности светимости, дающее в проекции закон (33), является очень простым (например, [26]):
\begin{displaymath} j(R)=\frac{j_0}{[1+(R/r_0)^2]^{3/2}}, \end{displaymath} (35)

где $j_0=I_0/2r_0$.

Формула Хаббла-Эмлера является модификацией закона Рейнольдса-Хаббла (2):

\begin{displaymath} I(r)=\frac{I_0}{(1+r/r_0)^2}e^{-r^2/r_t^2}. \end{displaymath} (36)

При $r>r_t$ поверхностная яркость быстро уменьшается и в результате полная светимость объекта, описываемого законом (36), остается конечной. При $r_t\rightarrow\infty$ формула (36) переходит в (2).

$\bullet$ Закон Кинга

Формула Кинга [86] была введена для описания наблюдаемого распределения плотности в шаровых скоплениях. Позднее она неоднократно использовалась при моделировании распределения яркости эллиптических галактик [99].

Формула Кинга имеет следующий вид:

\begin{displaymath} I(r)=K[(1+[r/r_c]^2)^{-1/2}-(1+[r_t/r]^2)^{-1/2}]^2, \end{displaymath} (37)

где $r_c$ -- радиус ядра (значение яркости на этом расстоянии от центра в 2 раза, то есть на 0.$^m$75, слабее, чем при $r=0$), $r_t$ -- приливной радиус и $K$ -- масштабный множитель. На основе параметров закона Кинга вводится параметр концентрации $c={\rm lg}(r_t/r_c)$. Формула (37) описывает распределение плотности шаровых скоплений при $c=0.75-1.75$ и распределение поверхностной яркости у эллиптических галактик при $c\geq2.2$ [25].

Приливной радиус $r_t$ определяет несколько условную границу галактики. Карликовые сфероидальные объекты, действительно, часто демонстрируют усеченные профили яркости. Нормальные эллиптические галактики как правило не показывают признаков приливного ''обрезания'' (см., например, рис. 11).

При $r << r_t$ (и $r_t >> r_c$) формула Кинга близка к закону Рейнольдса-Хаббла. При $r >> r_c$ соответствующим выбором значения приливного радиуса $r_t$ можно добиться того, чтобы закон Кинга давал распределение яркости, близкое к закону $r^{1/4}$ Вокулера. Распределения яркости для законов Рейнольдса-Хаббла и Кинга сравниваются на рис. 15.

рис.  15: Непрерывная и штриховая кривые показывают распределения поверхностной яркости для закона Рейнольдса-Хаббла и модифицированной формулы Рейнольдса-Хаббла соответственно при $r_0=5$. Линия из точек -- формула Кинга при $c=3.0$.
\begin{figure}\centerline{\psfig{file=prof.ps,angle=-90,width=8.0cm}}\end{figure}

Динамические свойства модели Кинга обсуждаются, например, в [100].

$\bullet$ Формула Яффе

В отличие от предыдущих законов, формула Яффе была введена не для описания спроецированного распределения поверхностной яркости, а для представления трехмерного распределения плотности светимости. Эта формула имеет следующий вид [88]:

\begin{displaymath} j(\xi)=\frac{1}{4\pi}\,\xi^{-2}\,(1+\xi)^{-2}, \end{displaymath} (38)

где $\xi=R/R_e$ и $R_e$ -- эффективный радиус для трехмерного распределения светимости (радиус сферы, внутри которой излучается половина полной светимости). Связь эффективных радиусов для трехмерного и спроецированного распределений яркости очень проста: $R_e=r_e/0.763$. Нормированная на 1 полная светимость в пределах расстояния $R$ от центра для формулы (38) равна $L(\leq R)=R/(1+R)$.

Наблюдаемое распределение поверхностной яркости для объекта, удовлетворяющего закону Яффе, записывается следующим образом [88]:

$I(\alpha)=\frac{1}{4\alpha}+\left[\frac{1}{1-\alpha^2}-\frac{2-\alpha^2}{(1-\alpha^2)^{3/2}}\,{\rm arccosh}(\frac{1}{\alpha})\right]/2\pi$ при $\alpha < 1$
$I(\alpha)=\frac{1}{4\alpha}+\left[\frac{1}{\alpha^2-1}-\frac{\alpha^2-2}{(\alpha^2-1)^{3/2}}\,{\rm arccos}(\frac{1}{\alpha})\right]/2\pi$ при $\alpha > 1$,
где $\alpha=r/R_e=0.763(r/r_e)$. В области $r/r_e \approx 0.1-10$ формула Яффе дает близкое к закону Вокулера описание распределения поверхностной яркости [85].

При предположении, что галактика имеет постоянное отношение масса-светимость, формулу (38) можно преобразовать в соответствующее общее выражение для плотности:

\begin{displaymath} \rho(R)=\frac{\rm M}{4 \pi R_0^3}\,\frac{R_0^4}{R^2(R+R_0)^2}, \end{displaymath} (39)

где M -- полная масса галактики, а $R_0$ -- масштаб распределения плотности. Гравитационный потенциал, отвечающий такому распределению плотности, имеет очень простой вид [88,101]: $\Phi(R)=\frac{G{\rm M}}{R_0}\,{\rm ln}\frac{R}{R+R_0}$, где $G$ -- гравитационная постоянная. Скорость вращения в модели Яффе при $R << R_0$ остается примерно постоянной, а при $R >> R_0$ спадает по закону Кеплера: V  $\propto R^{-1/2}$ [101].

$\bullet$ Формула Хернквиста

Хернквист [89] ввел распределение плотности, которое лучше, чем формула Яффе (38), аппоксимирует закон распределения яркости Вокулера (11):

\begin{displaymath} \rho(R)=\frac{\rm M}{2 \pi}\,\frac{R_0}{R}\,\frac{1}{(R+R_0)^3}, \end{displaymath} (40)

где M -- полная масса галактики, а $R_0$ -- масштаб распределения плотности.

В модели Хернквиста полная масса в пределах расстояния $R$ от центра равна
${\rm M}(\leq R)={\rm M}\frac{R^2}{(R+R_0)^2}$. Радиус сферы, содержащей половину всей массы галактики, $R_e=(1+\sqrt{2})R_0$. Потенциал, соответствующий распределению (40), равен $\Phi(R)=-\frac{G{\rm M}}{R+R_0}$. Скорость вращения в модели Хернквиста выражается просто как V $(R)=\frac{\sqrt{G{\rm M}R}}{R+R_0}$. При $R/R_0\rightarrow\infty$     V  $\propto R^{-1/2}$.

Наблюдаемое распределение поверхностной яркости для модели, описываемой законом (40),

\begin{displaymath} I(\alpha)=\frac{\rm M}{2 \pi R_0^2 f (1-\alpha^2)^2}\,[(2+\alpha^2)X(\alpha)-3], \end{displaymath} (41)

где $\alpha=r/R_0$, $f$ -- отношение масса-светимость галактики и
$X(\alpha)=(1-\alpha^2)^{-1/2}~{\rm ln}[(1 + \sqrt{1-\alpha^2})/\alpha]$     при $0 \leq \alpha \leq 1$,
$X(\alpha)=(\alpha^2-1)^{-1/2}~{\rm arccos}(1/\alpha)$     при $1 \leq \alpha \leq \infty$.
В пределе при $\alpha \rightarrow 0$ $X(\alpha) \approx {\rm ln}\frac{2}{\alpha}$ и, следовательно, $I(\alpha) \approx \frac{\rm M}{\pi R_0^2 f} {\rm ln}\frac{2}{\alpha}$. При $\alpha \rightarrow \infty$ $X(\alpha) \approx \frac{\pi}{2 \alpha}$ и $I(\alpha) \approx \frac{\rm M}{2 \pi R_0^2 f} \frac{\pi}{2 \alpha^3}$. Эффективный радиус для наблюдаемого распределения поверхностной яркости (поверхностной плотности) связан с эффективным радиусом трехмерного распределения светимости (плотности) соотношением $R_e=1.330r_e$. Для модели Яффе это отношение равно 1.311 (см. выше), для закона Вокулера -- 1.35 [90].

В работе Хернквиста [89] показано, что распределение яркости (41) хорошо согласуется с законом Вокулера (11) в области $0.06 \leq r/r_e \leq 14.5$.


<< 4.2 Формула Серсика | Оглавление | 4.4 Центральные области галактик >>